Đề thi và đáp án APMOPS 2014
Kết quả kỳ thi APMOPS 2014 (chính thức) xem cập nhật tại ĐÂY.
Bài thi chính thức APMOPS 2014 đã được trường trung học Hwa Chong, Singapore chuẩn bị, tiếp nối phong cách truyền thống của kỳ thi Toán Châu Á Thái Bình Dương APMOPS: bài toán đa dạng, phát biểu thú vị, phát hiện thông minh. Năm nay APMOPS vẫn có nhiều bài toán rất hấp dẫn, đem lại cảm xúc tích cực cho người đọc.
Bài thi APMOPS năm nay có 30 bài toán, với mức độ khó gia tăng hơn so với những năm trước, và có nhấn mạnh hai mảng chính: số học và đếm.
Vì chưa có đủ đề bài, một số bài chưa rõ ràng đầu bài, và khó vẽ hình nên chúng tôi lựa chọn thảo luận một số bài khó nhất sau, theo phiên bản học sinh ghi lại theo trí nhớ. Khi có đầy đủ đề thi chính xác, chúng tôi sẽ đưa lên website này.
Bài về các khối lập phương.
Bài toán về xếp các khối lập phương theo một quy luật, rồi tính diện tích toàn phần của hình thứ 20. Đáp số là $a_{20}=39^2\times 2+4(1+3+5+\cdots+39)=4642$. Bài này là một kiểu đếm theo quy luật (theo kiểu quy nạp), có kết hợp với bài toán về diện tích. Cái khó của bài này là biết quan sát để việc tính toán các giá trị ban đầu của dãy trở nên nhẹ nhàng hơn.
Bài toán về đếm số lượng tam giác khi nối các điểm trên cạnh của một hình chữ nhật.
Đây cũng là một bài toán khó với học sinh lớp 6, 7. Đáp số bài này là 216. Các bài tương tự loại này cũng đã được giảng dạy kỹ lưỡng cho các em Hexagonists. Những em xa lạ với khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp thì bài toán này đã rất khó.
Bài toán về gấp mảnh giấy hình tam giác, tỉ lệ diện tích phần mới và phần cũ là 5:7.
Đáp số là 28.
Bài toán lấy bóng từ 6 túi (hai loại bóng xanh, bóng đỏ):
Tổng số bóng ở 6 túi là 140. Gọi $a,3b$ lần lượt là số bóng đỏ và số bóng xanh trong cả 6 túi. Ta có $a+3b=140.$ Suy ra $3b=140-a.$ Vì số bóng đỏ không thể vượt quá 34 và không ít hơn 18 quả nên $18\leq a\leq 34,$ dẫn đến $106\leq 3b\leq 122,$ kéo theo $36\leq b\leq 40.$ Vì vậy $b\in \{36;37;38;39;40\}.$ Khi đó tương ứng $a\in\{32;29;26;23;20\}.$ Đối chiếu giả thiết ta chỉ thấy $a=23.$ Suy ra số bóng đỏ là 23.
Bài toán về tam giác vuông cân và hình bán nguyệt:
Qua $A$ kẻ đường thẳng $Ax$ song với $BC.$ Từ $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $Ax,$ cắt $BC,Ax$ lần lượt tại $E,F.$ Dễ thấy diện tích phần tô đậm bằng tổng diện tích hình chữ nhật $ABEF$ và một nửa hình bán nguyệt trừ đi diện tích của tam giác vuông $ADF.$ Lưu ý là $AB=BC=28 \ \textrm{cm}, DF=42 \ \textrm{cm},$ nên diện tích phần tô đậm là
\[AB\times BE+\frac 12\times \pi \times \left(\frac{BC}{2}\right)^2-\dfrac 12\times AF\times DF=406 \ \textrm{cm}^2.\]
Đáp số: 406. Bài này có một phiên bản đầu bài khác, cách giải tương tự, đáp số là 252.
Cho $N$ là số tự nhiên mà khi thêm vào sau một số nguyên dương bất kỳ
Thực chất của bài toán này là đếm số ước, nội dung này đã được ôn luyện cho các Hexagonist.
Ta xét một số tự nhiên $A$, khi thêm $N$ vào sao chữ số $A$ ta được số $\overline{AN}.$ Nếu $N$ có $m$ chữ số thì $\overline{AN}=A\times 10^m+N.$ Từ đây, $\overline{AN}$ chia hết cho $N$ với mọi $A$ khi và chỉ khi $N$ là ước của $10^m.$ Vì $N<600$ nên $m\leq 3.$ Suy ra rằng nếu $N$ có một chữ số thì $N$ là ước của $10$. Nếu $N$ có hai chữ số thì $N$ là ước của $100$. Nếu $N$ có ba chữ số thì $N$ là ước của $1000$ và $N<600$. Tính toán cho ta đáp số 12.
Bài toán tính giá trị của biểu thức
\[10\times \left(\dfrac{1}{1\times2}+\cdots+\dfrac{89}{9\times10}\right)\]
Bài toán này đã quá quen thuộc với học sinh Việt Nam. Biểu thức trong ngoặc chính là
\[9-\left(\dfrac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{9\times10}\right)=\dfrac{81}{10}.\]
Đáp số là $81.$
Bài toán: Các số chia 5 dư $a,$ chia 6 được thương là $b$ với $a+b=11.$ Tìm tất cả các số đó.
Đây là bài dễ. Trước hết, ta nhận thấy $a\leq 4,$ do đó ta chỉ có các khả năng của $(a,b)\in \{(0;11),(1;10),(2;9),(3;8),(4;7)\}.$ Kiểm tra trực tiếp, các trường hợp $(0;11),(1;10),(2;9),(4;7)$ đều bị loại, chỉ có duy nhất trường hợp $(3;8)$ thỏa mãn. Khi đó số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 48. Đáp số là 48. Lời giải này sai. Chúng tôi đã phát hiện từ ngày 16/4 và cập nhật này 17/4. Đầu bài rõ hơn và lời giải đúng như sau:
Phiên bản khác của bài toán trên (học sinh nhớ khác nhau): Các số chia 5 dư $a$, chia 6 dư $b$ và biết rằng $a+b=11$. Tính tổng tất cả các giá trị của các số đó.
Trước hết, ta nhận thấy $a\leq 4,$ do đó ta chỉ có các khả năng của $(a,b)\in \{(0;11),(1;10),(2;9),(3;8),(4;7)\}.$ Khi đó, các số cần tìm tương ứng là $70; 61; 57; 48; 44.$ Tổng các số đã cho là 280.
Bài toán về hai vật chuyển động trên một quỹ đạo tròn.
Thời gian để hai vật chuyển động gặp nhau lần đầu là $300/(5-4.2)=375$ giây. Quãng đường vật A đi được là $5\times 375=1875$. Số vòng đã đi được ngay sau khi gặp B là phần nguyên của $1855/300=6$. Đáp số 6.
Bài toán về tính tổng của 12 góc.
Đáp số là $720^{\circ}$. Bài này thuộc loại các bài toán về tổng các góc trong đa giác.
Bài toán chia hình chữ nhật thành chín hình chữ nhật con, trong đó có một hình vuông.
Bài này giống một bài toán đã được sử dụng tại Vòng 2 của Kỳ thi APMOPS năm xưa. Tính được cạnh hình chữ nhật đó là $a=4$ và $b=\frac{27}2$. Chu vi cần tìm là $8+27=35$.
Bài toán hỏi số nào là số chính phương:
Đáp số: 269361.
Bài toán cho tập các số nguyên dương khác nhau $\{1,2,3,\ldots, 9\}$, tìm giá trị lớn nhất của một biểu c $\max(abc+bcd+cde+def+efg+fgh+ghi)$.
Bài này chỉ cần đếm số lần xuất hiện của các số, rồi chọn giá trị 9 cho số lớn nhất, giá trị 8 cho số tiếp theo, cứ như vậy. Đáp số là 1611.
Một phiên bản khác cho bài toán trên là tìm giá trị lớn nhất của $S$, với $S=\overline{abc}+\overline{bcd}+\overline{cde}+\overline{def}+\overline{efg}+\overline{fgh}+\overline{ghi}.$ Thế thì\[S=111\times(a+b+c+d+e+f+g+h+i)-110\times i-100\times h-11\times a-b.\]Vì $a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+\cdots+9=45$ nên $S=4995-110\times i-100\times h-11\times a-b.$ Từ đó, tổng $S$ lớn nhất khi và chỉ khi $i=1, h=2, a=3, b=4$ và khi đó $S=4648.$
Giá trị lớn nhất của $S$ là 4648.
Bài toán xếp ba quân cờ trên một bàn cờ kích thước $7\times 7$ sao cho không có hai quân nào cùng một cột.
Trước hết, ta xếp quân cờ màu đỏ, có 49 cách xếp. Bỏ đi cột chứa quân cờ màu đỏ, xếp quân cờ màu xanh lên các vị trí còn lại có 42 cách xếp. Sau đó lại bỏ đi cột chứa quân cờ màu xanh, xếp quân cờ màu vàng lên vị trí còn lại có 35 cách xếp. Dẫn đến có $49\times 42\times 35=72030.$
Một phiên bản khác của bài toán trên (theo học sinh ghi nhớ) là: Bài toán xếp ba quân cờ trên một bàn cờ kích thước $7\times 7$ sao cho không có hai quân nào cùng một cột, cùng cột.
Lời giải: Trước hết, ta xếp quân cờ màu đỏ, có 49 cách xếp. Bỏ đi cột và hàng chứa quân cờ màu đỏ, xếp quân cờ màu xanh lên các vị trí còn lại có 36 cách xếp. Sau đó lại bỏ đi cột và hàng chứa quân cờ màu xanh, xếp quân cờ màu vàng lên vị trí còn lại có 25 cách xếp. Dẫn đến có $49\times 36\times 25=44100.$
Bài toán cho các số tự nhiên từ 2014 đến 6999, hãy đếm các số có tổng các chữ số chia hết cho 5.
Đây là bài toán hay, không dễ. Trước hết ta đưa ra nhận xét sau: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bởi số có dạng $\overline{A0}$ đến $\overline{A9}$ có đúng hai số có tổng các chữ số chia hết cho 5.
Thật vậy, xét 10 số tự nhiên liên tiếp có tổng các chữ số lần lượt là $a,a+1,a+2,\cdots,a+9.$ Bằng cách xét các dạng $a\in \{5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4\},$ ta có ngay điều phải chứng minh.
Trở lại bài toán, từ 2020 đến 6999 ta chia thành các đoạn gồm 10 số tự nhiên liên tiếp như sau: $[2020;2029],[2030;2039],\cdots,[6990;6999].$ Có tất cả là 498 đoạn như thế, mỗi khoảng có đúng hai số có tổng các chữ số chia hết cho 5. Hơn nữa, từ 2014 đến 2019 có đúng 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 5 (là số 2017). Do đó, từ 2014 đến 6999, có $498\times 2+1=997$ số có tổng các chữ số chia hết cho 5.
Bài toán về ba loại nước mắm:
Đây là bài toán khó của bài thi APMOPS năm nay:
Gọi $x,y,z$ lần lượt là khối lượng nước mắm loại $A,B,C$ cần dùng để trộn vào nhau. Trộn ba loại với nhau ta được 100 gam nước mắm có nồng độ muối là $7\%$ nên $x+y+z=100$ và $5x+8y+9z=700.$ Lấy đẳng thức thứ nhất nhân 8 rồi trừ đẳng thức số 2 cho ta $3x-z=100,$ hay $3x=z+100.$ Chú ý là khối lượng nước mắm loại $C$ thêm vào không vượt quá là 47 gam nên $z\leq 47$, nghĩa là $x\leq 49$. Hơn nữa, thay $z=3x-100$ vào $x+y+z=100$ ta được $4x=200-y.$ Vì lượng nước mắm loại $B$ thêm vào không vượt quá 60 gam nên $y\leq 60,$ dẫn đến $x\geq 35.$ Vì vậy, khối lượng nước mắm loại $A$ thêm vào không nhỏ hơn 35 gam và không lớn hơn 49 gam.
Cách trộn 49 gam nước mắm loại $A$ với hai loại $B,C$ để được 100 gam nước mắm nồng độ $7\%:$ Lần lượt lấy 49 gam nước mắm loại $A,$ 4 gam nước mắm loại $B,$ 47 gam nước mắm loại $C.$
Cách trộn $35$ gam nước mắm loại $A$ với hai loại $B,C$ để được 100 gam nước mắm nồng độ $7\%:$ Lần lượt lấy $35$ gam nước mắm loại $A,$ 60 gam nước mắm loại $B,$ 5 gam nước mắm loại $C.$
Đáp số: 84 gam nước mắm loại $A.$
Bài toán về các điểm cách đều trên nửa đường tròn có diện tích 60 cm$^2$:
Đáp số 20. Bài này thuộc loại khó tính toán chặt chẽ nhưng dễ đoán kết quả.
Bài toán về hai vòi nước chảy:
Bài này đáp án đúng là 13 giờ.
Bài toán về mật mã (code):
Đây có lẽ là bài toán khó nhất của kỳ thi APMOPS 2014, nhưng đáng tiếc là học sinh ghi nhớ đề bài không chính xác. Chúng tôi sẽ chờ đợi đề bài chính xác.
Bài toán tính góc tại tâm khi nối với hai đỉnh kề nhau của hình bát giác đều:
Đáp số là $45^{\circ}$
Người giải đề: Nguyễn Tiến Lâm, Phạm Văn Thuận
Đề thi APMOPS các năm khác xem trong phần Tài Nguyên của website Hexagon này.
