Bản tin

# Toán tiếng Anh 6, tính chia hết trên tập số tự nhiên (1)

• UEE|
• ASP|
• JMS|
21 Sep 2013

Divisibility with Integers

• factor, divisor: ước số
• multiple: bội số
• divisible by: chia hết
• remainder: số dư

Definition. Given two natural numbers $a$ and $b$ and $b$ is distinct from $0$, we say that $a$ is divisible by $b$ if there exists a natural number $q$ such that $a=bq$. We also say that $a$ is the multiple of $b$ or $b$ is a factor of $a$.

Lưu ý những khác biệt về mặt ký hiêu chia hết và thứ tự cách nói giữa Việt Nam và nước khác. Ví dụ, $a| b$ thì hiểu rằng $a$ là ước của $b$ (khác với cách nói ở VN về thứ tự). Do đó, các cách nói sau là tương đương

• $a$ is a factor of $b$
• $b$ is a multiple of $a$
• $a$ divides $b$
• $b$ is divisible by $a$.

Các tính chất sau đây liên quan ở phạm vi lớp 6:

• Every whole number divides itself.
• Zero is divisible by any positive integer.
• All whole numbers are divisible by $1$.
• If both $a$ and $b$ are divisible by $m$ then $a+b$ is also divisible by $m$, and  $a-b$ is divisible by $m$. Diễn đạt cách khác ta nói, If $m$ divides both $a$ and $b$ then $m$ divides $a+b$ and $a-b$.

Hệ quả của tính chất cuối là, nếu tổng của hai số chia hết cho $m$ và một trong hai số ấy chia hết cho $m$ thì số còn lại cũng chia hết cho $m$. If $m$ divides the sum of two numbers and one of the summands is divisible by $m$, then the other summand is also divisible by $m$.

Nếu một trong hai số $a$ và $b$ chia hết cho $m$, số kia không chia hết cho $m$ thì $a+b$ không chia hết cho $m$, $a-b$ không chia hết cho $m$.

Tính chất chia hết của tích

• If one factor of a product is divisible by $m$, then the product is divisible by $m$.
• If $n$ divides $a$ and $m$ divides $b$ then $mn$ divides $ab$.

Ví dụ 1. Prove that $\overline{ab}+\overline{ba}$ is divisible by $11$.

Solution. Notice that

$\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)$ which is a multiple of $11$.

Ví dụ 2. Show that $9$ divides $\overline{ab}-\overline{ba}$ provided that $a>b$.

Cách giải ví dụ thứ hai tương tự ví dụ thứ nhất. Và cả ba thí dụ sau đây cũng giải tương tự, dựa trên cách biểu diễn số nguyên trong hệ cơ số $10$.

Ví dụ 3. Prove that $\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}$ is divisible by $11$.

Ví dụ 4. Prove that $$\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{cd}+\overline{da}+\overline{bd}+\overline{ac}$$ is divisible by $3$.

Ví dụ 5. Show that $\overline{abc}+\overline{bcd}+\overline{cda}+\overline{dab}$ is divisible by $3$.

Ví dụ 6. Find the digit $a$ such that $\overline{177a}$ is a multiple of $7$.

Notice that $\overline{177a}=1770+a=1764+6+a$ and $1764=252\times 7$. This implies that $a+6$ must be a multiple of $7$, hence, $a=1$.

Ví dụ 7. Find the value of digit $a$ such that $13$ divides $\overline{5a5}$.

Hướng dẫn. We have $\overline{5a5}=500+10a+5=505+10a=572+10a-67$. Since $572=13\times 44$, $10a-67$ must be a multiple of $13$. Hence, $a=8$.

Ví dụ 8. Find the digit $a$ such that $\overline{20a20a20a}$ is divisible by $7$.

Solution. Note that

$$n=\overline{20a20a20a}=\overline{20a20a}\times 1000+\overline{20a}=(\overline{20a}\times 1000+\overline{20a})\times 1000+\overline{20a}.$$

Thus, $n=1001\times \overline{20a}\times 1000+\overline{20a}$. Since $7$ divides $1001$, we can conlude that $\overline{20a}$ must be divisible by $7$ following the requirement. Since $\overline{20a}=196+(4+a)$, and $7$ is a multiple of $196$, then $4+a$ must be a factor of $7$, which implies $a=3$.

Answer: $a=3$.

đang cập nhật tiếp các chuỗi bài Toán tiếng Anh chuẩn bị cho APMOPS