Olympic toán Hà Nội Mở rộng: đề thi HOMC 2007

  • UEE|
  • ASP|
  • JMS|
21 Dec 2013

Đây là năm thứ hai tổ chức kỳ thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng, với sự tham gia của nhiều tỉnh hơn. Nhiều em tham gia HOMC 2007 sau đó đã dự Olympic Toán học Singapore mở rộng sau đó dành học bổng ASEAN, A*STAR theo học tại Singapore. Lời giải HOMC 2006 đã có trong mục Bản tin này. ĐANG CẬP NHẬT

Câu 1. What are the last two digits of the number? Tìm hai chữ số cuối cùng của số sau đây

$$(3+7+11+\cdots+2007)^2$$

A) $01$         B) $11$         C) $23$        D) $37$       E) none of the above

Câu 2. What is the largest positive integer satisfying the inequality $n^{2006}<7^{2007}$? Tìm số nguyên dương lớn nhất thoả mãn bất đẳng thức $n^{2006}<7^{2007}$.

A) $7$          B) $8$            C) $9$        D) $10$         E) $11$.

Câu 3. Which of the following is a possible number of diagonals of a convex polygon? Số nào dưới đây có thể là số đường chéo của một đa giác lồi?

A) $2$           B) $21$         C) $32$         D) $54$       E) $63$

Câu 4. Let $m,n$ be the number of digits in the number $2^{2007}$ and $5^{2007}$ respectively in base ten. What is the value of $m+n$? Giả sử $m,n$ là số các chữ số của hai số $2^{2007}$ và $5^{2007}$. Tính giá trị của $m+n$.

Câu 5. Suppose that $(\alpha, \beta)$ is an open interval such that $\beta-\alpha=\frac1{2007}$. What is the maximum number of irreducible fractions $\frac ab$ such that $\alpha<\frac ab<\beta$ and $1\leq b\leq 2007$? Cho khoảng mở $(\alpha,\beta)$ với hai số thực $\alpha, \beta$ thoả mãn $\beta-\alpha=\frac1{2007}$. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu phân số tối giản sao cho $\alpha<\frac ab<\beta$ và $1\leq b\leq 2007$?

Câu 6. In triangle $ABC$, $\angle BAC=60^{\circ}$, $\angle ACB=90^{\circ}$, and $D$ is on $BC$. If $AD$ bisects the angle $\angle BAC$ and $CD=3$ cm, what is the length of $BD$? 

Câu 7. Nine points, no three of which lie on the same straight line, are located inside an equilateral triangle of side 4. Prove that some three of these points are vertices of a triangle whose area is not greater than $\sqrt3$. Chín điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng, nằm trong một tam giác đều cạnh dài $4$ đơn vị. Chứng minh rằng ba trong số chín điểm đó là cạnh của một tam giác mà diện tích không lớn hơn $\sqrt3$.

Câu 8. Let $a,b,c$ be positive real numbers. Prove that 

$$\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq\frac35.$$

Câu 9. A triangle is said to be Herian if it has integer sides and integer area. In a Herian triangle, its sides $a,b,c$ are such that $b=a(a-c)$. Prove that this triangle is isosceles.

Câu 10. Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $\frac1{ab}+\frac1{bc}+\frac1{ca}\geq1$. Prove that $\frac a{bc}+\frac b{ca}+\frac c{ab}\geq 1$.

Câu 11. How many possible values for the sum $a+b+c+d$ if $a,b,c,d$ are positive integers such that $abcd=2007$?

Câu 12. What is the value of the sum?

$$\frac5{2\times 7}+\frac5{7\times12}+\frac5{12\times 17}+\cdots+\frac5{2002\times 2007}.$$

Câu 13. $ABC$ is a triangle, find all points $M$ such that the triangles $MAB$ and $MAC$ have the same area. 

Câu 14. Find the number of pairs of integers $(x,y)$ such that $2x^2+y^2+xy=2(x+y)$. Tìm số cặp nguyên $(x,y)$ thoả mãn $2x^2+xy+y^2=2(x+y)$. 

Câu 15. Suppose that $a,b,c$ are positive integers such that $\overline{abc}$ is a three-digit prime number. Prove that the equation $ax^2+bx+c=0$ does NOT have rational roots. Giả sửa $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho  $\overline{abc}$ là một số nguyên tố có ba chữ số. Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0$ không có nghiệm hữu tỉ.

Một số từ ngữ, cụm từ

  • positive integers: số nguyên dương
  • prime numbers: số nguyên tố
  • rational numbers: số hữu tỉ
  • irreducible fractions: phân số tối giản
  • diagonals: đường chéo

LỜI GIẢI: Xem tại bài trong đường link sau ĐÂY.