Đề thi và lời giải HOMC 2014

  • UEE|
  • ASP|
  • JMS|
23 Mar 2014

Bài này giới thiệu đề thi và lời giải kỳ thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng năm 2014 (HOMC 2014). Kỳ thi HOMC năm nay được tổ chức ngày 23/03 tại trường THPT Chu Văn An Hà Nội. Đề thi năm nay khó hơn các đề thi HOMC cùng loại các năm trước. Sau đây là một số bài toán (các bài toán trắc nghiệm chúng tôi chưa có đề bài)

Kỳ thi Tìm kiếm Tài năng Toán học trẻ MYTS 2016 xem Tại ĐÂY.

Question 1. Let $f(x)=ax^2+bx+c$ and $|f(x)|\leq 1$ for all $|x|\leq 1$ and $f(x)\geq 7$ for all $x\geq2$. Determine the value of $a,b$ and $c$.

Lời giải. Dễ dàng chỉ ra $c=f(0), a=\frac 12\left(f(-1)+f(1)-2f(0)\right), b=a=\frac 12\left(f(1)-f(-1)\right).$ Suy ra

\[f(2)=4a+2b+c=f(-1)+3f(1)-3f(0).\]

Vì $|f(x)|\leq 1$ với mọi $x\in [-1;1]$ nên $f(-1)\leq 1, f(1)\leq 1$ và $-f(0)\leq 1.$ Dẫn đến $f(2)\leq 7.$ Theo giả thiết thì $f(2)\geq 7,$ do đó các dấu bằng xảy ra, nghĩa là $f(-1)=f(1)=1, f(0)=-1.$ Từ đây, ta dễ dàng tìm được $a=2, b=0, c= -1.$

 

Question 2. Solve the system

\[x^2+y^2-xy=2,\; \; x^4+y^4+x^2y^2=8.\]

Lời giải. Để ý rằng $x^4+y^4+x^2y^2=(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)=8$ nên suy ra $x^2+y^2+xy=4$. Do đó, $xy=1$. Từ đây ta thấy nghiệm của hệ đã cho cũng là nghiệm của hệ sau đây (đơn giản hơn) 

\[xy=1,\; x^2+y^2-xy=2.\]

Giải hệ này cho ta nghiệm $x=\frac{\sqrt5-1}2$, $y=\frac{\sqrt5+1}2$; nghiệm thứ hai là $x=\frac{-\sqrt5+1}2$, $y=\frac{-\sqrt5-1}2$.   

Question 3. Let $a,b, c$ be positive real numbers such that $abc=1$. Prove that 

\[\frac{a-1}c+\frac{c-1}b+\frac{b-1}a\geq0.\]

Lời giải. Từ giả thiết suy ra tồn tại các số thực dương $x,y,z$ sao cho $a=\frac xy, b=\frac yz, c=\frac zx$. Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\geq \frac{x^2y+y^2z+z^2x}{xyz}.\] Bất đẳng thức này tương đương với $x^3+y^3+z^3\geq x^2y+y^2z+z^2x$. Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ta $x^3+x^3+y^3\geq 3x^2y$. Làm hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng ba bất đẳng thức lại ta thu được điều phải chứng minh.

 

Question 4. Let 

\[f(x)=\frac{c(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{a(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}.\]

Determine the value of $f(2014)$.

Lời giải. Dễ thấy đa thức $f(x)$ có bậc không vượt quá 2. Đặt $g(x)=f(x)-x,$ thì $g(x)$ có bậc không vượt quá 2. Hơn nữa, dễ thấy $g(a)=g(b)=g(c)=0,$ nghĩa là đa thức $g(x)$ có ít nhất ba nghiệm, điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi $g(x)\equiv 0$ với mọi $x.$ Suy ra $f(x)\equiv x,$ với mọi $x.$ Từ đó $f(2014)=2014.$

Question 5. Suppose that $a_1,a_2,a_3,\ldots, a_9$ are real numbers such that 

\[\min\{a_1,a_2,\cdots,a_9\}\geq -1,\;\;\text{and}\; \; a_1^3+a_2^3+\cdots+a_9^3=0.\]

Find the maximum value of 

\[A=a_1+a_2+\cdots+a_9.\]

Lời giải. Từ giả thiết, ta suy ra $a_i\geq -1$ với mọi $i=1,2,\cdots,9.$ Do đó $(a_i+1)(2a_i-1)^2\geq 0,$ dẫn đến

\[a_i\leq \dfrac 13\left(4a_i^3+1\right), \forall i=1,2,...,9.\]

Cộng các bất đẳng thức trên và sử dụng giả thiết, ta được $A\leq 3.$ Dấu bằng xảy ra chẳng hạn với $a_1=-1, a_2=a_2=\cdots=a_9=\frac 12.$ Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là 3.

 

Question 6. Find all pairs of integers $(x,y)$ such that

\[8x^2y^2+x^2+y^2=10xy.\]

Lời giải. Phương trình đã cho có thể viết lại $(x-y)^2+2(2xy-1)^2=2.$ Suy ra $(2xy-1)^2\leq 1,$ từ đó ta phải có $0\leq xy\leq 1.$ Vì $x,y$ nguyên nên $xy\in \{0;1\}.$ Từ đây dễ dàng tìm được các nghiệm là $(x;y)\in \{(0;0),(-1;-1),(1;1)\}.$

Question 7. If $a,b,c$ are the side-length of a triangle and $x,y,z$ are the length of its bisectors, prove that 

\[\frac1x+\frac1y+\frac1z>\frac1a+\frac1b+\frac1c.\]

Lời giải. Dựng đường thẳng qua $B$ song song với phân giác trong $AK,$ cắt tia đối của tia $AC$ tại $E.$ Dễ thấy tam giác $ABE$ cân tại $A.$ Theo định lý Thales và tính chất đường phân giác trong, ta có

\[\dfrac{AK}{BE}=\dfrac{KC}{BC}=\frac{b}{b+c}.\]

Dẫn đến \[x=BE.\frac{b}{b+c}.\]

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có  $BE

\[\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{2}\left(\dfrac 1b+\dfrac 1c\right).\]

Tương tự với các bất đẳng thức còn lại, sau đó cộng lại ta suy được điều phải chứng minh.

Question 9. Let $ABCD$ be a parallelogram of area 5 cm. Points $E, F$ are on $BC, AD$ respectively such that $BE=\frac23BC$, $AF=\frac12AB$. Suppose that $AE, BF$ intersect $CD$ at $M, N$ (produced) respectively and $AE$ meets $FB$ at $O$. Find the area of triangle $MNO$. 

Bài này bạn đọc tự giải sử dụng tỉ lệ diện tích.

Đề thi HOMC và lời giải các năm khác cũng có thể tìm thấy trên website này.

Lời giải HOMC 2008.

(Gõ chữ HOMC vào ô tìm kiếm trên trang chủ).

Hexagon nhận tập huấn đội tuyển cho các trường khi tập trung tại Hà Nội.