Kết quả thi toán Hà Nội mở rộng: HOMC 2015

  • UEE|
  • ASP|
  • JMS|
02 Apr 2015

Kỳ thi Học sinh giỏi Toán Hà Nội mở rộng HOMC 2015 được tổ chức ngày Chủ Nhật 22 tháng 03 năm 2015. Hai lứa tuổi dự thi HOMC 2015 là các em sinh năm 1999 và 2001. Mỗi bài thi có 15 câu hỏi, trong đó có 5 câu hỏi trắc nghiệm và 10 câu hỏi tự luận. 

Xem thêm về Kỳ thi Tìm Kiếm Tài năng Toán học trẻ năm 2016  tại ĐÂY.

HOMC mở rộng theo nghĩa thí sinh ở nhiều tỉnh ngoài Hà Nội được mời dự thi, theo cơ chế xét đội tuyển. Như thế vẫn chưa theo đúng nghĩa là Open: mở rộng cho tất cả các thí sinh. Ở các nước như ở Mỹ, Anh, Singapore, thí sinh được dự thi theo nguyện vọng, không có khái niệm đội tuyển. 

Đề thi HOMC 2015

Bài thi năm nay HOMC 2015 có quá nhiều bài toán bất đẳng thức (ba bài), cả bài bất đẳng thức hình học nữa là bốn. Đề thi này thất bại trong việc lôi kéo thêm các tín đồ nếu coi toán là một kiểu tôn giáo. Học sinh không hề yêu toán hơn mà thậm chí còn sợ toán sau thời gian học giải những bài kiểu này. Đề thi không có nội dung số học là mấy, không có phép đếm. Học sinh không giải được những bài toán bất đẳng thức kiểu này thì cũng không có gì phải tự ti. 

Phần thi trắc nghiệm

Bài toán 1. Tìm số hạng thứ 7 trong dãy số $-1, 4, -2, 3, -3, 2, \ldots$

Bài toán 2. Tìm chữ số tận cùng của số $2017^{2017}-2013^{2015}$.

Bài toán 3. Tam giác đều và lục giác đều có cùng chu vi. Biết rằng diện tích tam giác là $4\sqrt3$, hãy tìm diện tích lục giác đều.

Bài toán 4. Tìm tổng tất cả các số chẵn là bội của 6 mà nhỏ hơn 100.

Bài toán 5. Biết $a,b,c,m$ thoả mãn $a+b+c\equiv (a-b)(b-c)(c-a)\equiv m\pmod{ 27}$, trong đó $0\leq m\leq 26$. Tìm $m$.

Phần thi tự luận

Bài toán 1. Tìm $ x$ sao cho $ x^4=2x^2+[x]$, trong đó $ [a]$ chỉ phần nguyên của $ a$. 

Bài toán 2. Cho ba số thực dương $ a,b,c$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn $ 1+2abc\geq a^2+b^2+c^2$. Chứng minh rằng

$1+2a^2b^2c^2\geq a^4+b^4+c^4$.

Bài toán 3. Cho ba số thực dương $ a,b,c$ thoả mãn $ abc=1$. Chứng minh rằng

$a^3+b^3+c^3+2(ab)^3+2(bc)^3+2(ca)^3\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a).$

Bài toán 4. Ba số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $ a^2+b^2+c^2\leq 8$. Tìm giá trị lớn nhất của 

$4(a^3+b^3+c^3)-(a^4+b^4+c^4)$. 

Bài toán 5. Tìm $x$ biết rằng $(2015x-2014)^3=8(x-1)^3+(2013x-2012)^3$.

Bài toán 6. Hai số thực dương $x,y$ thoả mãn $(x^2+y^2-2)(x+y)^2+(xy+1)^2=0$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ.

Bài toán 7. Tam giác $ABC$ có các chiều cao lần lượt là $h_A, h_B, h_C$ và đường tròn nội tiếp bằng $2$. Biết rằng $h_A=7, h_B=3$, hãy tính $h_C$. 

Bài toán 8. Cho $2x^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy$. Tìm $x,y$.  

Bài toán 9. Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $O$. Kẻ đường cao từ $B, O, C$ xuống $AD$ cắt $AD$ lần lượt tại $I, K, H$. Chứng minh rằng $AD\times BI\times CH\leq AC\times BD\times OK$. 

Kết quả và xét giải thưởng cho HOMC 2015

So với đề thi năm ngoái thì năm nay có lẽ thí sinh giải được từ 9 bài sẽ nhận HCV. Thí sinh làm bài tốt nhất được 13 bài trên 15 bài. Số đông các bạn tham gia học lớp HOMC tại Hexagon giải được 8 đến 11 bài. 

Danh sách đạt giải HOMC 2015 xem tại ĐÂY. (EXCEL)

Danh sách lớp 8 (Junior) đạt giải HOMC 2015 (PDF)

Danh sách lớp 10 (Senior) đạt giải HOMC 2015 (PDF)

Các trường có sự chuẩn bị bài bản kỹ lưỡng trong mấy năm qua đều có kết quả khá tốt. Tiêu biểu nhất là THCS Lê Quý Đôn. 

Sau huy chương sẽ là gì?

Những bạn đạt huy chương có thể chọn chương trình UEE tại Hexagon, để theo học các ngành về công nghệ, kỹ thuật tại các trường đại học công lập của Singapore và Nhật Bản. Lớp 11 vào học, lớp 12 đi.