Kỳ thi Toán châu Á Thái Bình dương 2015: đề thi và lời giải

  • UEE|
  • ASP|
  • JMS|
01 Apr 2015

Kỳ thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương APMOPS 2015 (Vòng 1) được tổ chức tại Hà Nội, với sự tham gia của hơn 500 em học sinh. Năm nay APMOPS chỉ được tổ chức tại Hà Nội; hai điểm thi là Bình Dương và Đà Nẵng không được tổ chức năm nay. 

Danh sách thí sinh dự thi APMOPS 2015 tại ĐÂY.

Mỗi năm với hơn 8000 học sinh tham gia trong cả khu vực, APMOPS được chuẩn bị kỹ lưỡng về chuyên môn, do trường Hwa Chong  phụ trách. Kỳ thi Olympic này được tổ chức nhằm gây dựng và nuỗi dưỡng tình yêu học tập môn toán, tìm kiếm tài năng toán học nhỏ tuổi. Chúng tôi cảm nhận được rất rõ ràng sự phấn khích và niềm vui học tập của học sinh khi học theo chương trình này. 

Bài này có các nội dung chính sau đây

  1. Lời giải bài thi APMOPS 2015
  2. Lớp Math Prime cho HS lớp 7 sau khi thi APMOPS 2015
  3. Kế hoạch lớp APMOPS 2016

Đề thi và lời giải APMOPS 2015

ĐỀ THI và LỜI GIẢI APMOPS 2015: Từ 9h đến 11h ngày 11 tháng 04 năm 2015 là thời gian thi chính thức của thí sinh. Từ 11h30 đến 14h, chúng tôi sẽ đưa đề thi và lời giải lên bài viết này. PHHS và học sinh có thể theo dõi và soát đáp số luôn trong ngày 11/04.

Theo thống kê các năm gần đây, thí sinh trả lời đúng khoảng 20 đến 22 câu hỏi là đã chắc chắn được giải Bạch Kim (tương đương khoảng 100 trên 150 điểm). Các giải Vàng, Bạc, Đồng sẽ giảm dần đến chừng 65 điểm. 

Thứ tự các bài sau đây không phải là thứ tự chính xác xuất hiện trong bài thi của APMOPS. Một số bài toán chúng tôi chỉ mô tả vắn tắt để học sinh mường tượng.

Câu 1. Cô bé Kelly 6 tuổi, bố 34 tuổi. Khi tổng tuổi của hai bố con là 58, hỏi khi đó Kelly bao nhiêu tuổi. 

Bài này dễ nhất trong đề thi. Đáp số là 15. 

Câu 2. Tính giá trị của $2\times 9+17\times 99+81\times 999$.

Đáp số 82620.

Câu 3. Tính giá trị của

$\left(\frac{17}{71}+\frac{1717}{7171}+\frac{171717}{717171}\right):\frac{17171717}{71717171}.$

Đáp số: 3

Câu 4. Bài toán về hai bạn chạy cùng chiều trên đường tròn với vận tốc khác nhau. Hỏi bạn chạy nhanh hơn thì sẽ vượt bạn chạy châm hơn bao nhiêu lần trong 16 phút?

Đáp số: 9.

Câu 5. Một hình hộp chữ nhật có tỉ lệ ba cạnh là $4:3:2$, tổng độ dài tất cả các cạnh của hình hộp chữ nhật là 72. Tính thể tích của hình hộp.

Đáp số: 192. Bài này tính được từng cạnh là $8, 6, 4$. 

Câu 6. Bài toán về khối hình ghép bởi các khối lập phương đơn vị. Họ cho hình vẽ nhìn từ mặt trước, mặt bên. Hỏi có nhiều nhất là bao nhiêu hình lập phương đơn vị.

Đáp số: 25.

Câu 7. Bài toán cho hình vuông có cạnh là 8. Dựng trên cạnh nó một hình vuông. Tính diện tích của tam giác tô màu. 

Đáp số: 32. Bài này nên làm bằng cách đặc biệt hoá cạnh của hình vuông còn lại. 

Câu 8. Một tháng có 31 ngày, số ngày thứ 2 bằng số ngày thứ 6. Hỏi ngày mùng 10 trong tháng đó là ngày thứ mấy?

Đáp số: 4 (Thursday).

Câu 9. Tìm số dư của $2^{2015}+2015^2$ khi chia cho $7$.

Đáp số: 5

Câu 10. Tính giá trị của $(101+234+567)\times (234+567+789)-(101+234+367+ ....)$

Đáp số: $8989$. 

Câu 11. Bài toán về tính lượng nhiên liệu tiêu thụ ít nhất. 

Đáp số: 181 lit.

Câu 12. Bài về tìm số học sinh trong lớp chơi cả ba môn thể thao.

Đáp số: 03. Bài này dùng biểu đồ Venn.

Câu 13: Tìm tất cả hình trominoes (3 ô vuông dạng chữ L) trên một lưới ô vuông kích $6\times 6$ ô vuông.

Đáp số: 100.

Câu 14. Cho hình chữ nhật kích thước $14\times 28$, vẽ hai góc phần tư đường tròn, sau đó tính hiệu diện tích của hai phần tô. Lấy $\pi=22/7$.

Đáp số: 70. 

Câu 15. Bài toán về 5 vòi nước chảy.

Đáp số: 48h. 

Câu 16. Cho đa giác lồi có $n$ cạnh. Bạn Jerry cộng tổng các góc trong nhưng quên cộng một góc nên kết quả ra là $2015^{\circ}$. Hỏi góc mà bạn Jerry quên cộng là bao nhiêu độ?

Đáp số: $145^{\circ}.$

Câu 17. Bài toán về phép chia có dư. Tổng của số chia, số bị chia, số dư, và thương là 2169. Hỏi số bị chia bằng bao nhiêu?

Đáp số: 2015. 

Câu 18. Bài toán về điểm tích luỹ của các đội bóng tham gia một giải đấu. 

Đáp số: 120.

Câu 19. Bài toán về tìm số số 0 tận cùng của một tích. 

Đáp số: $398$

Câu 20. Bài toán về tìm chu vi nhỏ nhất của hình tạo bởi hai hình vuông phủ nhau.

Đáp số: 30. Một số em ghi lại hình vẽ không đúng, đáp số 32 là sai. 

Câu 21. Bài toán về viết các số trên đường tròn. 

Đáp số: 18.

Lời giải. Ta chứng minh xếp được nhiều nhất 18 số thoả mãn ycbt. Thật vậy, dễ dàng xếp được 18 số đầu tiên 1,2,...,18 trên vòng tròn thỏa mãn tích hai số kề nhau tuỳ ý nhỏ hơn 100 (xếp 1,18,2,17,3,...,8,11,9,10 theo chiều kim đồng hồ). Bây giờ ta chứng minh số 18 là số lớn nhất có thể. Nếu có ít nhất 19 số thì trong đó sẽ có ít nhất 10 số có hai chữ số, nhiều nhất 9 số có một chữ số. Rõ ràng hai số có hai chữ số không thể đứng cạnh nhau nên mỗi số có hai chữ số phải xếp ở giữa hai số có một chữ số. Vì có nhiều nhất 9 số có một chữ số nên 9 số này sẽ tạo ra nhiều nhất 9 khoảng trống. Trời ơi, thế là nó không đủ để nhét ít nhất 10 số có hai chữ số vào giữa mất rồi.  

Câu 22. Bài toán về ba loại bóng, ... tổng khối lượng là 39. 

Đáp số: 4, một số em ghi đầu bài khác, đáp số lại là 7. Câu này chưa có đầu bài rõ ràng. 

Câu 23. Cho hình vuông diện tích bằng 48 đơn vị vuông. ..... Tính diện tích của miền tô đậm.

Đáp số: 16. 

Câu 24. Bài toán về tô màu lưới ô vuông $5\times 5$ thoả mãn điều kiện .... Hỏi cần tô ít nhất bao nhiêu ô?

Đáp số: 07. Đây cũng là bài toán khó. Rất nhiều em ra đáp số 09 là không chính xác. 

Câu 25. Có một quả bóng đá làm từ 32 mảnh da khâu lại. Mỗi mảnh da đen là một hình ngũ giác mà mỗi cạnh lại “dính” vào một cạnh của một mảnh da trắng. Mỗi mảnh da trắng là một hình lục giác mà có 3 cạnh mà mỗi cạnh lại “dính” vào 1 cạnh của 1 mảnh da trắng khác, có 3 cạnh mà mỗi cạnh lại “dính” vào mảnh da đen. Hỏi quả bóng đó có bao nhiêu mảnh da trắng ?

Đáp số: 20. 

Câu 26: Tommy travelled from town A to town B and Jenny travelled from town B to town A. They started travel at the same time. C is a station between 2 towns. Tommy reached station C at 09:00 and Jenny reached station C at 19:00. The ratio between the speed of Tommy and Jenny is 3:2. So when did they met?

Đáp số: 13.00

Câu 27: Để thay đổi doanh thu nước tăng lực “5 sao”, công ty sản xuất loại nước tăng lực này đã cho phép người tiêu dùng đổi 5 chai nước tăng lực đã hết sạch để đổi lấy 1 chai nước tăng lực mới. Hỏi bạn A phải mua ít nhất bao nhiêu chai nước tăng lực để cuối cùng bạn ấy có thể thưởng thức đủ 109 chai nước tăng lực, biết bạn A đã đi đổi chai nhiều lần nhất có thể?

Đáp số: 88 

Câu 28: Số $\overline{15abc6}$ là số nhỏ nhất có sáu chữ số chia hết cho $36$. Tính gía trị của $a^2+b^2+c^2$.

Đáp số: 26. 

Câu 29: Bài toán về cho thiệp vào phong thư. 

Đáp số: 44.

Câu 30: $a$ là một số nguyên sao cho $\frac59<\frac9a<1$. Hỏi có bao nhiêu số $a$ như vậy?

Đáp số: 7 (gồm các số 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Học sinh làm đúng trên 18 câu có thể báo danh về email trên để chúng tôi thống kê kết quả Huy chương năm nay.

Bài thi năm nay không khó bằng các năm trước. Ít hơn các bài toán thú vị so với các năm trước. Dễ hơn hẳn so với đề thi APMOPS năm 2014. Huy chương Bạch Kim năm nay có lẽ sẽ được trao cho các bạn giải đúng được từ 24 bài trở lên. 
Tuy còn những bài thuần tính toán, và không hay bằng năm 2014, nhưng về tổng thể APMOPS 2015 vẫn là một bài thi có chất lượng tốt, vẫn có sức hấp dẫn. 
B-Coffee, 82 phố Duy Tân

Đăng Khoa, Quang Anh, Thanh Long, Quang Minh, Trương Quang Minh, Triều Dương, Doãn Đại, Ngọc Tú, Bảo Minh, Việt Hùng, Quốc Lâm: sau khi thi hẹn cá em ra gặp các thầy tại Quán Cafe B số 82 phố Duy Tân (ngay sát toà nhà của trường Kinderworld). 

Lớp toán Năng khiếu cho học sinh lớp 7 Math Prime 

Nội dung lớp Math Prime 2015 xem tại ĐÂY. Những em sinh năm 2003, đã tham gia lớp Master 2015, các lớp APMOPS A, B, C được tuyển thẳng vào lớp Math Prime. Các bạn khác cần đăng ký và làm bài kiểm tra đầu vào. Lịch học là lúc 18h-20h thứ 3 và thứ 7 hàng tuần.

Câu lạc bộ JMS APMOPS

Chương trình JMS APMOPS tại Hexagon hoạt động giống tính chất các Câu lạc bộ Toán (Math Circle) rất phổ biến tại Mỹ và Nga. Học sinh học theo cách phát triển tư duy logic, phân tích, trừu tượng, rèn luyện cả khả năng trình bày ý tưởng dưới dạng nói viết

Lớp APMOPS 2016 tuyển sinh các cháu sinh năm 2004 và sinh sau ngày 1 tháng 7 năm 2003. Mỗi học sinh chỉ học 2h trên lớp APMOPS mỗi tuần tại Hexagon. Năm nay chương trình toán năng khiếu APMOPS tại Hexagon có những thay đổi sau đây

  1. Thực hiện bài Marathon Test mỗi tuần, 20 phút.
  2. Các câu hỏi và hệ thống chuyên đề được chuẩn hoá nội dung tốt hơn.
  3. Phiếu bài tập hàng tuần được phát ngay từ những tuần đầu.
  4. Tăng các bài toán kiểu vận động, trò chơi. 

PHHS xem thêm nội dung tại ĐÂY. Học sinh nhất thiết phải kiểm tra đầu vào. Học sinh có thể đăng ký kiểm tra, tư vấn và học 2 ca miễn phí. Năng lực từng cháu đến đâu thì còn phải xem, nhưng có một điều chắc chắn là tất cả các cháu tham gia CLB đều sẽ yêu mến toán học hơn

Xem bài viết về chia sẻ kinh nghiệm làm bài thi chính thức APMOPS tại ĐÂY.

Xem kết quả APMOPS 2014 tại ĐÂY.

Xem phản hồi về lớp APMOPS A 2015

Xem phản hồi về lớp APMOPS B 2015

Bài chia sẻ kinh nghiệm dự thi APMOPS của Lê Trí Lâm, HC Bạch Kim 2014