Lời giải Toán Hà Nội mở rộng HOMC 2006

  • UEE|
  • ASP|
  • JMS|
  • SMS|
19 Dec 2013

Năm 2006 Olympic Toán Hà Nội mở rộng được tổ chức cùng thời điểm tại Hà Nội và một số tỉnh ở phía Bắc. Một mục đích của kỳ thi lúc đó là chọn đội Việt Nam tham gia Olympic Toán Singapore mở rộng. Lúc đó Hội toán học Singapore mời Hội toán học Hà Nội cử học sinh tham gia. Từ năm 2011 thì SMO không còn được tổ chức ở Hà Nội nữa. Đề bài HOMO hay HOMC do các thầy ở Hội toán học Hà Nội soạn. Đề thi có một số lỗi tiếng Anh có thể gây hiểu nhầm cho người đọc, chúng tôi đã hiệu đính và sửa trong bản dưới đây. Bài thi dưới đây dành cho học sinh lớp 8, nhóm Junior có 9 bài toán. 

Câu 1. What are the last two digits of the number? Hỏi hai chữ số tận cùng của số

$$A=(11+12+13+\cdots+2006)^2.$$

Giải. Viết $A=B^2$. Số số hạng trong tổng $B$ là $\frac{2006-11}1+1=1996$. Do đó, tổng $B$ bằng $\frac{(11+2006)\times 1996}2=2012966$. Do đó, $B^2\equiv 66^2\pmod{100}\equiv 4356\pmod{100}$. Suy ra, hai chữ số cuối cùng của $A$ là $56$.

Tiếng Anh: Let $A=B^2$. The number of summands in $B$ is $1996$. Hence, $B=2012966$. Notice that $A\equiv 66^2\pmod{100}\equiv 4356\pmod{100}$, which implies that the last two digits of $A$ are $56$.

Câu 2. What are the last two digits of the number? Hỏi hai chữ số tận cùng của số

$$C=2005^{11}+2005^{12}+\cdots+2005^{2006}.$$ 

Giải. Dễ thấy hai chữ số tận cùng của $C$ cũng là hai chữ số tận cùng của 

$$D=5^{11}+5^{12}+\cdots+5^{2006}.$$

Lưu ý là $5D=5^{12}+5^{13}+\cdots+5^{2007}$. Trừ từng vế cho ta $5D-D=5^{2007}-5^{11}=4D$. Suy ra $D=5^{11}(5^{1996}-1)/4$. Lại có $5^{1996}-1=(5^{998}+1)(5^{998}-1)=(5^{998}+2)(5^{499}+1)(5^{499}-1)$. Lưu ý là cả $5^k$ luôn là số lẻ nên $5^{499}+1$ và $5^{998}+1$ đều là số chẵn, tận cùng là $6$. Vì $5^{499} \equiv 1 \pmod4$ nên $5^{499}-1$ chia hết cho $4$. Vậy nên hai chữ số tận cùng của $D$ cũng là hai chữ số tận cùng của $5^{11}\times \cdots 36$. Dễ thấy, $D\equiv 0\pmod{100}$. Vậy, hai chữ số tận cùng của $C$ là $00$.  

Cách khác đơn giản hơn nhiều dựa trên nhận xét rằng hai chữ số tận cùng của $5^n$ luôn là $25$ với $n\geq2$. Lại chú ý rằng từ $11$ đến $2006$ có $1996$ số nguyên. Suy ra hai chữ số tận cùng của $C$ là hai chữ số tận cùng của $25\times 1996$ là $00$.

Câu 3. Find the number of triples of positive integers $(x,y,z)$ such that. Tìm số bộ ba các số nguyên dương $(x,y,z)$ thoả mãn

$$x^2+y-z=100,\; \; x+y^2-z=124.$$ 

Giải. Nhận thấy $z$ cùng hệ số xuất hiện ở cả hai vế nên ý tưởng là trừ vế theo vế hai phương trình cho ta $x^2-y^2+y-x=-24$. Tức là $(x-y)(x+y-1)=-24$, hay $(y-x)(x+y-1)=24$. Dễ thấy $x+y\geq2$, và $y-x$ với $x+y-1$ không cùng tính chẵn lẻ. Do đó, chỉ cần xét các cặp $(x,y)=\{(3,8), (1,24)\}$, và hoán vị, mà không cần xét đến cặp $(4,6), (2,12)$. Ta có thể xét bảng

$y-x$ $x+y-1$ $x$ $y$ $z$
$3$ $8$ $3$ $6$  
$8$ $3$      
$1$ $24$ $12$ $13$ $57$
$24$ $1$      

Vậy bộ ba số nguyên dương là $(x,y,z)=(12,13,57)$. Đáp số: 1. 

Tóm tắt tiếng Anh: Subtraction of the two equations gives $x^2-y^2+y-x=-24$. Factoring this gives $(y-x)(x+y-1)=24$. Notice that $x+y\geq 2$, $y-x$ and $x+y-1$ do NOT have the same parity, we just need to consider two pairs of $x,y$: $(3,8), (1,24)$ and their permutations. The set of positive integers $(x,y,z)=(12,13,57)$. Ans: $1$. 

Câu 4. Suppose that $x,y$ are real numbers such that $x+y-xy=155$ and $x^2+y^2=325$. Find the value of $|x^3-y^3|$. 

Giải. Đặt $s=x+y$, $p=xy$. Ta có $s-p=155$ và $s^2-2p=325$. Suy ra $(s-1)^2=16$, tức là $|s-1|=4$. Xét hai trường hợp

Nếu $s=5$ thì $p=-150$. Lưu ý là $A=|x^3-y^3|=|(x-y)(x^2+y^2+xy)|$. Nên $$A^2=(x^2+y^2-2xy)(x^2+y^2+xy)^2=(s^2-4p)(s^2-p)^2=(25+600)(25+155)^2.$$ Suy ra $A=25\times 180=4500$. 

Nếu $s=-3$ thì $p=-158$, và do đó $A^2=(9+4\times 158)(9-158)^2=641(149)^2$, tức là $A=149\sqrt{641}$.

Câu 5. Suppose that $n$ is a positive integer and three arbitrary numbers are chosen from the set $\{1,2,3,\ldots, 3n+1\}$ and the sum of the three chosen numbers is $3n+1$. If $p$ is the product of the three numbers, what is the greatest value of $p$?

Giải. Giả sử ba số chọn là $\ell, k, m$ thì $\ell+k+m=3n+1$. Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân thì $(3n+1)^3\geq 27 \ell k m$. Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi $\ell, k, m$ có giá trị gần nhau nhất và tổng bằng $3n+1$. Chọn $\ell=n-1$, $k=n$, và $m=n+2$. Khi đó, tích ba số đạt giá trị lớn nhất bằng $\ell km=n(n-1)(n+2)=n^3+n^2-2n$. 

Câu 6. Let $ABCDEF$ be a regular hexagon. Suppose that $M$ is inside the hexagon such that the area of $MCD$ is equal to the area of $MAC$. Find all such points $M$.

Giải. Gọi $a$ là độ dài cạnh của hình lục giác đều. Xét hình chữ nhật $ACDF$. Ta tính được dài cạnh $AC$ là $a\sqrt3$. Gọi $h$, $k$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $AC$ và $CD$. Khi đó, $\frac{a\sqrt3\times h}2=\frac{a\times k}2$. Suy ra $\frac hk=\frac1{\sqrt3}$. Cũng có thể chọn $MC=\ell$ thì lúc đó, $\frac{\ell}h=2$ theo định lý Pythagore. Ta có thể chọn vô số cặp số dương $(k,h)$ thoả mãn $\frac hk=\frac1{\sqrt3}$ hoặc cặp số $\ell, h$ thoả mãn $\frac{\ell}h=2$. Như vậy, tồn tại vô số điểm $M$ trong lục giác $ABCDEF$ thoả mãn yêu cầu. 

Câu 7. $A, B$ are two points on the circumference of circle $(O)$ of radius $15$ cm. Let $OH$ be the altitude of the triangle $OAB$, and $OH$ meets the circumference of the circle at $C$ produced. If $AB=16$ cm, and $AC=x$ cm, what is the value of $x$?

Giải. Tam giác $OAB$ là tam giác cân tại đỉnh $O$ nên đường cao $OH$ cũng là trung tuyến của nó. Tức là $HA=HB=8$ cm. Ta cần tính $CH=OC-OH=15-\sqrt{15^2-8^2}=15-\sqrt{161}$, bằng cách áp dụng định lý Pythagore cho tam giác $OHA$. Áp dụng định lý này lần nữa cho tam giác $AHC$, ta có  

$CA=\sqrt{8^2+(15-\sqrt{161})^2}=\sqrt{64+225+161-30\sqrt{161}}=\sqrt{450-30\sqrt{161}}$.

Câu 8. In the triangle $ABC$, points $P, Q$ are on the sides $AB, AC$ respectively such that $PQ$ is parallel to $BC$. Suppose that $BQ$ meets $CP$ at $G$ and a line through $G$ parallel to $BC$ meets $AB, AC$ at $E, F$ respectively. Given that $PQ=a$, $EF=b$, and $BC=x$, find the value of $x$ in terms of $a,b$. Trong tam giác $ABC$, điểm $P, Q$ lần lượt thuộc cạnh $AB, AC$ sao cho $PQ$ song song với $BC$. Giả sử $BQ$ cắt $CP$ tại $G$ và một đường thẳng qua $G$ song song với $BC$ cắt $AB, AC$ tại $E, F$ tương ứng. Biết rằng $PQ=a$, $EF=b$, và $BC=x$, tính giá trị của $x$ theo $a,b$.

Giải. Xét các cặp tam giác đồng dạng để tạo các tỉ lệ thức. Trong tam giác $PQB$, có $EG$ song song với $PQ$ nên tam giác $BGE$ đồng dạng với $BQP$. Thế thì $EG/PQ=BG/BQ$.

Tương tự, ta có $GF$ song song với $PQ$ nên $GF/PQ=GC/PC$. Xét cặp tam giác đồng dạng $GBC$ và $GQP$, ta có $GC/PG=GB/GQ=BC/PQ$.

Suy ra $$\frac{GC}{PG+GC}=\frac{GB}{GB+GQ}=\frac{BC}{BC+PQ},$$

tức là $\frac{GC}{PC}=\frac{GB}{BQ}=\frac{BC}{a+BC}$. Mà $GC/PC=GF/PD$ và $EG/PQ=GB/BQ$, suy ra $\frac{EG}{PQ}=\frac{FG}{PQ}=\frac{BC}{a+BC}$. Thành ra $EG=FG=\frac{EF}2=\frac b2$. Vì $PQ=a$ nên $BC=\frac{b}{2a}\left(a+BC\right)$. Tức là $x=\frac{b}{2a}(a+x)$, suy ra $x=\frac{b}{2-\frac ba}$.

Câu 9. If $x,y$ are real numbers, what is the least value of

$$T=x^2+y^2-x-y-xy.$$

Giải. Nhân cả hai vế với $2$ và nhóm các số hạng về tổng bình phương cho ta $2T=(x^2+y^2-2xy)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)-2=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2-2$. Tức là $2T\geq 0+0+0-2$. Suy ra $T\geq -1$. Đáp số $-1$.

Phạm Văn Thuận

Thuật ngữ, và các cụm từ hay sử dụng khi viết lời giải tiếng Anh

  • $\ell_1$ is parallel to $\ell_2$: đường thẳng $\ell_1$ song song với $\ell_2$
  • the last digit: chữ số cuối cùng (tận cùng bên phải)
  • circumference: chu vi đường tròn
  • applying the Pythagoras theorem: áp dụng định lý Pythagore
  • respectively: tương ứng
  • regular polygon: đa giác đều
  • positive integers: số nguyên dương
  • imply: dẫn đến, suy ra, cho ta
  • $p$ and $q$ have the same parity: $p$ và $q$ có cùng tính chẵn lẻ

Đề bài xem chi tiết tại ĐÂY

  Hexagon Education
  Hexagon Education phát triển các chương trình đào tạo hướng tới học sinh năng khiếu, học sinh giỏi toán và khoa học tự nhiên, hướng tới các chương trình học bổng toàn phần ở bậc trung học và bậc đại học tại các nước phát triển