APMOPS 2014: bình luận và giải một số bài thi APMOPS (1)

  • UEE|
  • ASP|
  • JMS|
  • SMS|
05 Oct 2013

Nhiều bài toán trong kỳ thi APMOPS có chất lượng rất tốt, khơi gợi được sự tò mò và lòng say mê toán học ở học sinh. Kỳ thi năng khiếu toán học này dành cho học sinh lớp 6, 7 ở Việt Nam, có thể đăng ký chính thức qua tổ chức Kinderworld Hanoi. Sau đây chúng tôi sẽ giải và bình luận một số bài toán từ APMOPS. Phần nhiều học sinh đọc hiểu được các lời giải, những chỗ phức tạp hơn chúng tôi có để song ngữ.

Cách tiếp cận thú vị từ bài toán tổng chữ số trong đề thi APMOPS 2001:

Question. Given that $ m=\underbrace{999...99}_{2001 \text{ digits}}$ and $ n=\underbrace{888...88}_{2001 \text{ digits}},$ find the sum of the digits in the value of $ m\times n.$

Nhận xét : Thông thường khi giải những bài toán dạng này ta cố gắng tìm một tính chất đặc biệt của số tạo thành. Nhưng hãy thử một cách tiếp cận liều lĩnh là tính trực tiếp số cần tính! Lời giải của chúng ta ngắn gọn đến khó tin!

Solution:

We have $(m+1)n=\underbrace{888...88}_{2001}\underbrace{000...00}_{2001}$. Thus, $m\times n = \underbrace{888...88}_{2000}7\underbrace{111..11}_{2000}2.$

So, the sum of the digits in the value of $ m\times n$ is $ 8\times 2000+7+1\times 2000+2=18009.$

Tránh sai lầm khi tính toán thì nên đặt bút thao tác cẩn thận vì trong kỳ thi không được sử dụng máy tính. Rất nhiều em đã sai sót tính toán ngay cả khi cách làm đúng. Tất cả các câu hỏi đều là định lượng nên việc tính rất quan trọng.

 

Các bài toán logic trong đề thi APMOPS 2004:

Question 1. A box of chocolate has gone missing from the refrigator. The suspects have been reduced to 4 childrens. Only one of them telling is the truth.

John      :  "I did not take the chocolate."

Wendy  :  "John is lying."

Charles :  "Wendy is lying."

Sally     :  "Wendy took the chocolate."

Who took the chocolate?

Hint : Với những bài kiểu này thì ta chỉ cần giả sử từng người một lấy chocolate, từ đó đếm xem có bao nhiêu người nói thật và bao nhiêu người nói dối rồi kết luận kết luận. Hoặc một hướng khác là giả sử từng người là người nói thật, rồi xét các mâu thuẫn và kết luận.

Answer : John.

Question 2. A particular month has 5 Tuesdays. The first and the last day of the month are not Tuesday. What day is the last day of the month?

Solution:

Notice that there are 29 days from the first Tuesday to the fifth Tuesday. Moreover,  the first and the last day of the month are not Tuesday. Hence, this month has 31 days and we can conclude that the last day of the month is Wednesday.

Question 3. What is the missing number in the following number sequence?

$2,  2,   3,   5,   14,   ?,   965.$

Solution:

We can see that a number in the sequence can be obtained by multiplying two last numbers and then minus 1:

$ 2\times2-1=3$

$ 2\times3-1=5$

$ 3\times5-1=14$

$ 5\times14-1=69$

$ 14\times 69-1=965$

Thus, our answer is 69.

Từ cách trên ta cũng có thể tạo được nhiều bài toán theo cách tương tự. Nhưng phần khó khăn luôn thuộc về người giải bài.

 

Mở rộng nhỏ từ bài toán số nguyên tố trong đề thi APMOPS 2013

Bài toán gốc như sau:

Question 1: The sum of two prime numbers is equal to $2013$. Find the product of these two numbers.

Solution: The sum of two prime numbers is odd. Thus, one of these two numbers is two and the other one is $2011$. So, the product of these two numbers is $4022$.

Chú ý 1: ta có thể đảo ngược bài toán trên như sau:

Question 2: The product of two prime numbers is $202$. Find the sum of these two numbers.

Solution: Cũng với ý tưởng như trên ta có thể tính được kết quả là 103. Thực ra bài toán này dễ hơn rất nhiều bởi vì ta chỉ cần chú ý rằng 202 có cách phân tích duy nhất thành các thừa số nguyên tố là $202=2\times101$.

Chú ý 2: Thậm chí ta có một bài toán mạnh hơn nữa!

Question 3: The product of prime numbers is $2014$. Find the sum of these numbers.

Result: $74$

Bài Toán chia hết trong đề thi APMOPS 2013:

 

Question 1: A 5-digit number written in the form $ \overline{24abc}$ has the last three digits unknown. If this number is divisible by $3,4$ and $5$ respectively, find the greatest possible value that $ \overline{abc}$ can take.

Answer: 960.

Solution:

This number ($ A$) is divisible by $4$ and $5$. Thus $ c$ must be $0$. We can start with the case $ a=9$. Because $ A$ is divisible by $4$, we imply that there are only four possible cases for $b$: $2,4,6,8$. Now it is not difficult to conclude that the number $960$ is our answer (notice that $ A$ is divisible by 3).

Question 2: The sum of ten positive integers, not necessary distinct, is $1001$. If $ d$ is the greatest common divisor of the ten numbers, find the maximum possible value of $ d$.

Solution:

Assume that these ten numbers are $ a_1,a_2,\ldots,a_{10}$ and $ a_i=dk_i$, $ \forall i=1,\ldots,10.$ We have $ d(k_1+k_2+\cdots+k_{10})=1001=7\times11\times13,$ by prime factorization.

Notice that $ k_1+\cdots+k_{10} \geq 10$ and its smallest possible value is $11$ (it is possible because we can take $ k_1=k_2=\cdots=k_9=1$ and $ k_{10}=2$). In this case we have $ d=7\times13=91.$ Hence, the maximum possible value of $ d$ is $91$.

 

Giả sử mười số đang xét là $ a_1,a_2,\ldots,a_{10}$ và $ a_i=dk_i$, $ \forall i=1,\ldots,10.$ Ta  $ d(k_1+k_2+\cdots+k_{10})=1001=7\times11\times13,$ nhờ phân tích $1001$ ra thừa số nguyên tố.

Chú ý rằng  that $ k_1+\cdots+k_{10} \geq 10$ và giá trị nhỏ nhất của tổng các $k_i$ là $11$ (hoàn toàn có thể vì ta được chọn  $ k_1=k_2=\cdots=k_9=1$ và $ k_{10}=2$). Từ đó suy ra  $ d=7\times13=91$ là giá trị lớn nhất cần tìm.

Bạn đọc xem thêm tài liệu ôn thi APMOPS và các đề thi APMOPS tại ĐÂYKIA.