Kỳ thi APMOPS năm 2016: tường thuật

  • UEE|
  • ASP|
  • JMS|
05 Apr 2016

Kỳ thi APMOPS 2016 được tổ chức ngày 9 tháng 4 năm 2016 tại trường Quốc tế Singapore (SIS), phố Duy Tân Hà Nội. Bài này chúng tôi sẽ 

  1. tóm tắt một số thông tin chính về APMOPS
  2. điểm danh các ứng viên xuất sắc
  3. đưa ra lời giải các bài toán, đáp số của các bài toán được sử dụng.

Mỗi năm thì có chừng 600 thí sinh (12 tuổi) tham gia APMOPS, phần đông đến từ Hà Nội và Tp HCM. Nhiều tỉnh không tham gia được vì rào cản ngôn ngữ. Thí sinh chỉ cần viết đáp số cho mỗi câu hỏi, không cần giải thích. 

Ứng viên xuất  sắc 

Dưới đây là danh sách các ứng viên xuất sắc cho vị trí top ten của APMOPS 2016, theo quan điểm của chúng tôi

  1. Cao Thúy An, 2004, học sinh trường HN AMS
  2. Đoàn Quốc Thịnh, 2004, học sinh trường THCS Phương Mai
  3. Hoàng Xuân Tùng, 2004, học sinh trường THCS Ngô Sĩ Liên
  4. Đặng Minh Trung, 2004, học sinh trường HN AMS
  5. Trần Đắc Nhật Anh, 2004, học sinh trường THCS Nguyễn Trường Tộ
  6. Nguyễn Hoàng Trung, 2004, học sinh trường HN AMS
  7. Phạm Trường Đạt, 2004, học sinh trường HN AMS
  8. Phạm Ngọc Thành Vinh, 2004, học sinh trường Nguyễn Siêu
  9. Nguyễn Nhật Minh, 2004, học sinh trường HN AMS
  10. Đinh Khoát Hoàng Long, 2004, học sinh trường THCS Lê Ngọc Hân
  11. Trần Hoàng Vũ, 2004, học sinh trường THCS Đoàn Thị Điểm
  12. Chu Hữu Đăng Trường, 2004, học sinh trường THCS Trưng Vương
  13. Phạm Hoàng Hiệp, 2004, học sinh trường THCS Đoàn Thị Điểm
  14. Nguyễn Anh Quân, 2004, học sinh trường THCS Nguyễn Siêu
  15. Lê Đức Anh, 2004, học sinh trường THCS Ngôi Sao
  16. Đặng Thanh Tùng, 2004, học sinh trường HN AMS
  17. Lê Đức Anh, 2004, học sinh trường THCS Nguyễn Siêu
  18. Phạm Trần Minh Ánh, 2003, học sinh trường THCS Archimedes

 

Giải các bài toán APMOPS 2016

... cập nhật từ 13h ngày 9 tháng 4 đến hết ngày 11/4/2016 ...

  1. Tính tổng $2016+2015+2014-2013-2012-2011+\cdots+6+5+4-3-2-1$. Giải: Bài này cần quan sát được các nhóm sáu số. Nhóm thứ nhất $2016+2015+2014-2013-2012-2011=9$, ..., và nhóm cuối cùng $6+5+4-3-2-1=9$. Có tất cả là $\frac{2016}6=336$ nhóm như vậy. Đáp số: $336\times 9=3024$.

  2. Bài toán về so sánh diện tích của hai miền đa giác. 

  3. Bài toán về xếp các đồng xu.

  4. Bài toán tính tổng các góc trong của một đa giác. Đáp số: $540^{\circ}$.

  5. Biết rằng $a\oplus b=2/a^2+1/b$. Tìm cặp số $a,b$ trong những cặp sau thỏa mãn liên hệ trên. Đáp số: $(3,6)$.

  6. Hỏi có bao nhiêu phân số  $\frac16, \frac27,\frac38, \ldots, \frac{2011}{2016}$ là phân số tối giản? How many of the fractions in the list $\frac16, \frac27,\frac38, \ldots, \frac{2011}{2016}$ are irreducible? Đáp số: 1609.

  7. Biết số $a_1=1000$, $a_2=1016$, và $a_3=\frac12(a_1+a_2)$, $a_4=\frac12(a_2+a_3)$, ..., tính giá trị của $\lfloor a_{15}\rfloor$, trong đó $\lfloor x\rfloor $ là phần nguyên của $x$. Đáp số: 1010.
  8. Cho số $N=\overline{abc}=\overline{ab}+\overline{ac}+\overline{ba}+\overline{bc}+\overline{ca}+\overline{cb}$.  Tìm giá trị lớn nhất của $N$. Đáp số: 396.
  9. Cho lưới tam giác đều, mỗi tam giác nhỏ có diện tích 1 đơn vị. Tính diện tích của tứ giác tô đậm.  Đáp số:  $36-19=17$.
  10. Cho ba khối lập phương bằng gỗ có kích thước $3\times 3\times 3$, $4\times 4\times 4$ và $5\times 5\times 5$. Người ta sơn các mặt của cả ba khối lập phương; sau đó cắt các khối lập phương thành các hình lập phương $1\times 1\times1$ có ít nhất một mặt sơn? Giải: Tổng số khối lập phương đơn vị là $3^3+4^3+5^3$. Số khối lập phương đơn vị mà không được sơn là $1^3+2^3+3^3$. Từ đó, tổng số khối lập phương đơn vị được sơn trên ít nhất một mặt là $3^3+4^3+5^3-1^3-2^3-3^3=189-9=180$. 
  11. Tích của ba số nguyên tố $a,b,c$  (không nhất thiết phân biệt) bằng tổng của bảy số tự nhiên liên tiếp. Hỏi giá trị nhỏ nhất của $a+b+c$ bằng bao nhiêu? Đáp số: $11$.
  12. Biết rằng $\overline{abcde}$ chia hết cho 9, $\overline{abcd}$ chia hết cho 4, tìm giá trị nhỏ nhất của $\overline{abcde}$. Đáp số: 10008.
  13. Một hình hộp chữ nhật có tỉ lệ diện tích ba mặt là $2:3:5$ và tổng độ dài tất cả các cạnh của nó là $124$. Tính thể tích của hình hộp. Giải: Gọi ba cạnh của hình hộp là $a,b,c$ thì $a+b+c=31$ và $ab:bc:ca=2:3:5$. Từ đó tính được $a:b:c=10:6:15$, và do đó $a=10, b=6, c=15$. Thể tích hình hộp là $10\times 6\times 15=900$. Nếu đầu bài nói tổng độ dài ba cạnh là 124 thì đáp số đúng sẽ là $57600$.
  14. Bài toán về điểm trung binh của thí sinh tham gia một kỳ thi. Đáp số: 100.
  15. Bài toán về diện tính tam giác có cạnh nối dài trên một tam giác có diện tích 1. Đáp số: 18.
  16. Cho một hình tam giác, trong hình tam giác đó có 2016 điểm (không có ba điểm nào thẳng hàng). Hỏi nếu ta nối những điểm này với nhau và với ba đỉnh của tam giác (các đoạn thẳng này không cắt nhau) thì sẽ có tổng cộng bao nhiêu tam giác sơ cấp (không gồm hai hoặc nhiều tam giác ghép lại). Đáp số: $2\times 2016+1=4033$.

  17. Bài toán về bắt xe bus đi từ thành phố A đến thành phố B. Đáp số: 82.
  18. Cho dãy số $1,2,3,\ldots, 400$. Xóa đi khỏi dãy số này các số là bội của 5, bội của 7 hoặc bội của cả hai. Hói số thứ 100 trong dãy còn lại là số nào? Đáp số: 144. 
  19. Bài toán về tỉ lệ diện tích giữa tam giác đều và lục giác đều. Đáp số: $a=3$.
  20. Bài toán về Tom, Abel có sáu chiếc túi đựng bi. Đáp số: 44.
  21. Bài toán tính quãng đường $AB$ biết tỉ lệ vận tốc, và vị trí gặp nhau. Đáp số: 120.
  22. Hỏi có bao nhiêu chữ số 0 trong kết quả của tích sau đây? $1\times 4\times 7\times 10\times \cdots \times 400$. Đáp số: 34.
  23. Tìm số dư của số $3^{2016}+2$ khi chia cho 11. Đáp số: 5
  24. Tính giá trị của $21\left(\frac4{1\times 3}-\frac8{3\times 5}+\frac{12}{5\times 7}-\frac{16}{7\times 9}+\cdots-\frac{40}{19\times 21}\right)$. Đáp số: 20.
  25. $N$ là một số tự nhiên có tổng các chữ số bằng 35, và chia hết cho 35. Nếu hai chữ số cuối của $N$ cũng bằng 35, hãy tìm số $N$ nhỏ nhất. Đáp số: $289835$. 
  26. Giả sử rằng sáu chữ cái của từ APMOPS được sắp xếp lại thành các từ có sáu kí tự, và xếp theo vần tương tự như trong từ điển. Ta được các từ AMOPPS, AMOPSP, ..., SPPMOA. Hỏi chữ POAMSP là từ thứ bao nhiêu trong dãy. Đáp số: 230.
  27. Bài toán về đường đi trên đồ thi (rẽ phải, rẽ trái, ....). Đáp số: xuất phát từ 3.
  28. Bốn đường tròn bằng nhau cùng đi qua một điểm và tiếp xúc với đường tròn lớn. Biết rằng bán kính của đường tròn lớn bằng 14. Lấy $\pi=22/7$. Tính diện tích phần tô đậm. Đáp số: 224.
  29. Bài toán về tam giác vuông cân $AB=AC$ và $BC=8$. Đáp số: 8.
  30. Nhờ các em học sinh chép lại bài toán theo trí nhớ và gửi về email hexagon@hus.edu.vn  

Thí sinh được 21 câu trả lời đúng trở lên thường được HC Bạch Kim. Ngưỡng cho HCV, HCB, và HCĐ lần lượt là 19, 17, 14. 

Danh sách thí sinh dự thi APMOPS 2016 tại ĐÂY.

Video clip về một số gương mặt học sinh xuất sắc:

Khóa học APMOPS 2017 xem tại ĐÂY.